设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )

admin2019-04-09 61

问题设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )

选项 A、若｜A｜＞0，则｜B｜＞0
B、如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E
C、如果A≌E，则｜B｜≠0
D、存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B

答案A

解析两矩阵等价的充要条件是秩相同．
当A可逆时，有r(A)=n，因此有r(B)=n，也即B是可逆的，故B^－1B=E，可见(B)中命题成立．A≌E的充要条件也是r(A)=n，此时也有r(B)=n，故｜B｜≠0，可见(C)中命题也是成立的．
矩阵A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的．
故唯一可能不成立的是(A)中的命题．事实上，当｜A｜＞0时，我们也只能得到r(B)=n，也即｜B｜≠0，不一定有｜B｜＞0．故选(A)．

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考研数学三

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