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设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．
设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令β=α1+α2+α3，证明：β，Aβ，A2β线性无关．
admin
2019-03-21
52
问题
设A为3阶方阵，且有3个相异的特征值λ
1
，λ
2
，λ
3
，对应的特征向量依次为α
1
,α
2
,α
3
，令β=α
1
+α
2
+α
3
，证明：β，Aβ，A
2
β线性无关．
选项
答案
因为Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1，2，3)，则Aβ=A(α
1
+α
2
+α
3
) =Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
，A
2
β=A(Aβ) =A(λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
) =λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
3
2
α
3
． 设存在常数k
1
，k
2
，k
3
，使k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0，进而得(k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0． 由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关，于是有[*]其系数行列式[*] 故k
1
=k
2
=k
3
=0，所以，β，AB，A
2
β线性无关．
解析
本题考查方阵不同的特征值对应的特征向量是线性无关的性质和向量组线性相关性的证明．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/jLV4777K
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