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  3. 设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有 ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)。

设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有 ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)。

admin2018-05-25  100
问题 设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有
    ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)。
选项
答案由于曲线积分∫LPdx+Qdy与路径无关，则[*](其中P，Q有连续偏导数)，即 [*] 对x积分得Q(x，y)=x2+φ(y)，其中φ(y)待定。对于任意的t，则有 ∫(0，0)(t，1)2xydx+[x2+φ(y)]dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+[x2+φ(y)]dy。 (*) 下面由此等式求φ(y)。 由于 2xydx+[x2+φ(y)]dy=ydx2+x2dy+φ(y)dy =d(x2y)+d(∫0yφ(s)ds)=d(x2y+∫0yφ(s)ds)。 于是由(*)式得 (x2y+∫0yφ(s)ds)｜(0，0)(t，1)=(x2y+∫0yφ(s)ds)｜(0，0)(t，1)， 即t2+∫01φ(s)dx=t+∫0tφ(s)ds，亦即t2=t+∫1tφ(s)dx。求导得2t=1+φ(t)，即φ(t)=2t一1。 因此Q(x，y)=x2+2y一1。
解析
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考研数学一

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