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已知α1,α2及β1,β2均是3维线性无关向量组. (Ⅰ)若γ不能由α1,α2线性表出,证明α1,α2,γ线性无关. (Ⅱ)证明存在三维向量δ,δ不能由α1,α2线性表出,也不能由β1,β2线性表出.
已知α1,α2及β1,β2均是3维线性无关向量组. (Ⅰ)若γ不能由α1,α2线性表出,证明α1,α2,γ线性无关. (Ⅱ)证明存在三维向量δ,δ不能由α1,α2线性表出,也不能由β1,β2线性表出.
admin
2016-04-14
105
问题
已知α
1
,α
2
及β
1
,β
2
均是3维线性无关向量组.
(Ⅰ)若γ不能由α
1
,α
2
线性表出,证明α
1
,α
2
,γ线性无关.
(Ⅱ)证明存在三维向量δ,δ不能由α
1
,α
2
线性表出,也不能由β
1
,β
2
线性表出.
选项
答案
(Ⅰ)设有数k
1
,k
2
,k
3
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
γ=0, 其中k
3
=0(若k
3
≠0,则[*](k
1
α
1
+k
2
α
2
),这和γ不能由α
1
,α
2
线性表出矛盾).则k
1
α
1
+k
2
α
2
=0.已知α
1
,α
2
线性无关,得k
1
=k
2
=0.故α
1
,α
2
,γ线性无关. (Ⅱ)α
1
,α
2
是2个3维向量,不可能表出所有3维向量,β
1
,β
2
也一样.若δ不能由α
1
,α
2
线性表出, 也不能由β
1
,β
2
线性表,则δ即为所求. 现设δ
1
不能由α
1
,α
2
线性表出,但可由β
1
,β
2
线性表示,设为δ
1
=x
1
β
1
+x
2
β
2
; 设δ
2
不能由β
1
,β
2
表出,但可由α
1
,α
2
线性表出,设δ
2
=y
1
α
1
+y
2
α
2
, 则向量δ=δ
1
+δ
2
既不能由α
1
,α
2
线性表出,也不能由β
1
,β
2
线性表出,向量δ即为所求. 因若δ=δ
1
+δ
2
=k
1
α
1
+k
2
α
2
, 则δ
1
=δ-δ
2
=(k
1
一y
1
)α
1
+(k
2
一y
2
)α
2
,这和δ
1
不能由α
1
,α
2
线性表出矛盾. (或δ
2
=δ+δ
2
(k
1
一x
1
)β
1
+(k
2
—x
2
)β
2
,这和δ
2
不能由β
1
,β
2
线性表出矛盾)
解析
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考研数学一
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