2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，b＝[9，18，－18]T，方程组AX＝b有通解 k1[－2，1，0]T＋k2[2，0，1]T＋[1，2，－2]T， 其中k1，k2为任意常数，求A及A100。

设A是三阶矩阵，b＝[9，18，－18]T，方程组AX＝b有通解 k1[－2，1，0]T＋k2[2，0，1]T＋[1，2，－2]T， 其中k1，k2为任意常数，求A及A100。

admin2015-11-16  57
问题 设A是三阶矩阵，b＝[9，18，－18]T，方程组AX＝b有通解
    k1[－2，1，0]T＋k2[2，0，1]T＋[1，2，－2]T，
其中k1，k2为任意常数，求A及A100。
选项
答案解 由题设知α1＝[－2，1，0]T与α2＝[2，0，1]T为AX＝0的基础解系，即有 Aα1＝0＝0α1， Aα2＝0＝0α2， 于是0为A的二重特征值，α1与α2为对应于λ1－λ2＝0的特征向量，又β＝[1，2，－2]T为其特解，故 Aβ＝b， 即[*] 于是λ3＝9为A的另一个特征值，β为其对应于λ3＝9的特征向量，易看出α1与α2线性无关(对应分量不成比例)。 又β与α1，α2均线性无关，故α1，α2，β线性无关，所以A有3个线性无关的特征向量，必与对角矩阵A＝diag(0，0，9)相似，取P＝[α1，α2，β]，则 p－1AP＝A， [*] 其中ηTη＝9，则 A2＝A·A＝ηηT·ηηT＝η(ηTη)ηT＝9ηηT＝9A，…，A100＝999A。 或 A100＝(PAP－1)100＝PA100p－1 [*]
解析
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考研数学一

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