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[2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+a32+2x1x2一8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY，下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
[2017年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+a32+2x1x2一8x1x3+2x2x3在正交变换X=QY，下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
admin
2019-07-23
104
问题
[2017年] 设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
一x
2
2
+a
3
2
+2x
1
x
2
一8x
1
x
3
+2x
2
x
3
在正交变换X=QY，下的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
，求a的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案
(1)[*]，令[*]，则f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX． 由于标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
，可知矩阵A有零特征值，即λ
3
=0，故｜A｜=0，即｜A｜=[*]=一3(a一2)=0，解得a=2． (2)由｜λE—A｜=[*]=λ(λ+3)(λ一6)=0，得λ
1
=一3，λ
2
=6，λ
3
=0． 当λ
1
=一3时，一3E—A→[*]，得λ
1
=一3对应的线性无关的特征向量为α
1
=[*] 当λ
2
=6时，6E-A=[*]，得λ
2
=6对应的线性无关的特征向量α
2
=[*] 由0E—A→[*]，得λ
3
=0对应的线性无关的特征向量α
3
=[*] 规范化得[*] 故正交矩阵[*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/j5c4777K
0
考研数学一
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