下述命题 ①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续．则f(x)在(一∞,+∞)上连续． ②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界． ③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数

admin2019-08-09 64

问题下述命题
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续．则f(x)在(一∞,+∞)上连续．
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界．
③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则

在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数．
④设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，则

在(一∞，+∞)上也是正值的有界函数．
其中正确的个数为 ( )

选项 A、1．
B、2
C、3
D、4

答案B

解析 ①与③是正确的，②与④是不正确的，理由如下：
①是正确的．设x₀∈(一∞，+∞)，则它必含于某区间[a,b]中，由于题设f(x)在任意闭区间(a，b]上连续，故在x₀处连续。所以在(一∞，+∞)上连续．论证的关键之处是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续．
③是正确的．设x₀∈(一∞，+∞)，所以f(x₀)＞0，且在x₀处连续．由连续函数的四则运算知