当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=+α，且y(0)=π，求y(1)的值．

admin2019-08-12 108

问题当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=

+α，且y(0)=π，求y(1)的值．

选项

答案首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x₀=0，△x=1，于是△y=y(x₀+△x)－y(x₀)=y(1)－y(0)=y(1)－π，代入△y的表达式即得 y(1)－π=π+α <=> y(1)=2π+α．由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分 [*] 这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y｜_x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．将方程dy=[*]分离变量，得[*] 求积分可得[*] 由初始条件y(0)=π可确定[*]，从而y(1)=[*]

解析

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考研数学二

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当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=+α，且y(0)=π，求y(1)的值．

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