2. 考研
  3. 设矩阵A的伴随矩阵A*=，且 ABA-1=BA-1+3E． ① 求矩阵B．

设矩阵A的伴随矩阵A*=，且 ABA-1=BA-1+3E． ① 求矩阵B．

admin2016-10-20  61
问题 设矩阵A的伴随矩阵A*=，且
    ABA-1=BA-1+3E．    ①
求矩阵B．
选项
答案由｜A*｜=｜A｜n-1，有｜A｜3=8，得｜A｜=2． 又因(A-E)BA-1=3E，有(A-E)B=3A，左乘A*，得 (｜A｜E-A*)B=3｜A｜E，即(2E-A*)B=6E． 故B=6(2E-A*)-1． [*]
解析 对矩阵方程①化简，右乘A得
    AB-B=3A(A-E)B=3A．
由于已知条件是A*，可继续变形，用A*左乘上式并用关系式AA*=A*A=｜A｜E得
    B=3｜A｜(｜A｜E-A*)-1．
因此，应先求出｜A｜，再求逆．
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考研数学三

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