求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)2+y2=1围成的立体的体积最小，并求出最小体积．

admin2020-04-30 98

问题求抛物面z=1+x²+y²的一个切平面，使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)²+y²=1围成的立体的体积最小，并求出最小体积．

选项

答案设切点为M₀(x₀，y₀，1+x²₀+y²₀)．则抛物面在点M₀处的切平面方程为 2x₀(x-x₀)+2y₀(y-y₀)-[z-(1+x²₀+y²₀)]=0，即z=2x₀x+2y₀y+(1-x²₀-y²₀)．所求体积的立体是以此切平面为底，抛物面z=1+x²+y²为顶，(x-1)²+y²=1为侧面的柱体，所以由二重积分的几何意义知 [*] 解方程组[*]解得x₀=1，y₀=0 又[*]，即AC-B²＞0，A＞0，故V_min=V(1，0)=π/2 此时切平面方程为z=2x

解析

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