设向量α＝(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A＝ααT． (1)求方程组AX＝0的通解； (2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．

admin2017-12-31 77

问题设向量α＝(a₁，a₂，…，a_n)^T，其中a₁≠0，A＝αα^T．
(1)求方程组AX＝0的通解；
(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．

选项

答案(1)因为r(A)＝1，所以AX＝0的基础解系含有n－1个线性无关的特征向量，其基础解系为 [*]，则方程组AX＝0的通解为k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_n－1α_n－1(k₁，k₂，…，k_n－1为任意常数)． (2)因为A²＝kA，其中k＝(α，α)＝[*]＞0．所以A的非零特征值为k，因为Aα＝αα^Tα＝kα，所以非零特征值k对应的线性无关的特征向量为α．

解析

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考研数学三

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