已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak=0，试证明矩阵E一A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．

admin2015-09-12 85

问题已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得A^k=0，试证明矩阵E一A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．

选项

答案由A^k=0，有 (E—A)(E+A+…+A_k-1)=E+A+…+A_k-1一A一…一A_k-1一A_k=E—A_k=E，由逆矩阵的定义即知E—A可逆，且有 (E一A)_-1=E+A+…+A_k-1

解析本题主要考查逆矩阵的定义及方阵多项式的乘法．注意，若同阶方阵A、B满足AB=E，则有A_-1=B，B^-1=A．因此，要验证B是A的逆矩阵，只需验证AB=E或BA=E二者之一就够了．本题中(E—A)^-1的表达式是如何想到的呢?读者可以类比多项式的乘法：(1一x)(1+x+…+x^k-1)=1一x^k．

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