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设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )．
设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )．
admin
2021-07-27
81
问题
设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )．
选项
A、Ax=0；A
2
x=0
B、A
2
x=0；A
3
x=0
C、A
3
x=0；A
4
x=0
D、A
4
x=0；A
5
x=0
答案
D
解析
证明(D)成立．A
4
x=0→A
5
x=0，现证A
5
x=0→A
4
x=0．用反证法．设A
5
x=0，但A
4
x≠0．因x，Ax，A
2
x，A
3
x，A
3
x，五个4维向量必线性相关，故存在不全为零的数k
0
，k
1
，k
2
，k
3
，k
4
，使得k
0
x+k
1
Ax+k
2
A
2
x+k
3
A
3
x+k
4
A
4
x=0．(*) (*)式两端左乘A
4
，得k
0
A
4
x+k
1
A
5
x+k
2
A
6
x+k
3
A
7
x+k
4
A
8
x=0→k
0
A
4
x=0．因A
4
x≠0，则k
0
=0．将k
0
=0代入(*)式，得k
1
Ax+k
2
A
2
x+k
3
A
3
x+k
4
A
4
x=0．同理可证得k
1
=0，k
2
=0，k
3
=0，k
4
=0．这和已知五个4维向量线性相关矛盾，故A
5
x=0→A
4
x=0．故A
5
x=0→A
4
x=0．(D)是同解方程组，应选(D)．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/iTy4777K
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考研数学二
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