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  3. 设矩阵A＝(α1，α2，α3)，线性方程组Aχ＝β的通解是(1，－2，0)T＋k(2，1，1)T，若B＝(α1，α2，α3，β－5α3)，求方程组By＝β＋α3的通解．

设矩阵A＝(α1，α2，α3)，线性方程组Aχ＝β的通解是(1，－2，0)T＋k(2，1，1)T，若B＝(α1，α2，α3，β－5α3)，求方程组By＝β＋α3的通解．

admin2022-03-20  12
问题 设矩阵A＝(α1，α2，α3)，线性方程组Aχ＝β的通解是(1，－2，0)T＋k(2，1，1)T，若B＝(α1，α2，α3，β－5α3)，求方程组By＝β＋α3的通解．
选项
答案由方程组Aχ＝β的解的结构，知 (α1，α2，α3)[*]＝β，(α1，α2，α3)[*]＝0， 即α1－2α2＝β，2α1＋α2＋α3＝0． 且n－r(a)＝1，即r(A)＝r(α1，α2，α3)＝3－1＝2．那么 r(B)＝r(α1，α2，α3，β－5α3)＝r(α1，α2，α3，α1－2α2－5α3)＝r(α1，α2，α3)＝2． 因此，4元方程组By＝β＋α3的通解形式为：α＋k1η1＋k2η2． 由[*]＝(α1，α2，α3，α1－2α2－5α3)[*]＝α1－2α2＋α3＝β＋α3， 知α＝(1，－2，1，0)T是By＝β＋α3的解． 又由B[*]＝(α1，α2，α3，β－5α3)[*]＝2α1＋α2＋α3＝0， B[*]＝(α1，α2，α3，α1－2α2－5α3)[*]＝0， 知η1＝(2，1，1，0)T，η2＝(1，－2，－5，－1)T是By＝0的解，从而是By＝0的基础解系，所以By＝β＋α3的通解是：α＋k1η1＋k2η2，其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学一

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