设n阶矩阵A和B满足等式 AB=aA+bB，其中a和b为非零实数。证明： (Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆； (Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆； (Ⅲ)AB=BA。

admin2019-01-23 52

问题设n阶矩阵A和B满足等式
AB=aA+bB，
其中a和b为非零实数。证明：
(Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆；
(Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆；
(Ⅲ)AB=BA。

选项

答案(Ⅰ)由AB=aA+bB得到 (A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE。由于a和b都非0，abE可逆，从而A-bE和B-aE都可逆。 (Ⅱ)由AB=aA+bB得，A(B-aE)=bB。由于B-aE可逆，b不为0，那么 A可逆[*](B-aE)可逆[*]bB可逆[*]b可逆。 (Ⅲ)由(A-bE)(B-aE)=abE，得[*]，根据逆矩阵的定义，从而有 [*] 即(B-aE)(A-bE)=abE=(A-bE)(B-aE)，等式两端展开并化简，结合已知条件AB=aA+bB，得AB=BA。

解析

转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/i0M4777K

考研数学一

相关试题推荐

设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．
[*]
假设一厂家生产的每台仪器以概率0．7可直接出厂，以概率0．3需进一步调试，经调试后以概率0．8可出厂，概率0．2不合格而不能出厂，现该厂生产n(n≥2)台仪器(设仪器生产过程相互独立)．不能出厂的仪器数的期望和方差．
已知随机变量X和Y独立，X的概率分布和y的概率密度相应为试求随机变量Z=X+Y的概率分布．
已知随机变量X的概率密度(I)求分布函数F(x)；(II)若令Y＝F(X)，求Y的分布函数FY(y)·
从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速
设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=O，证明：A不可以对角化．
函数f(x，y)=1+x+y在区域{(x，y)｜x2+y2≤1)上的最大值与最小值之和为()
设半径为R的球之球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．
一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．

随机试题

Inanycomprehensiontextyouwillfindwordsthatyoudon’tknow.Youcan【C1】______themupinadictionary,ofcourse,【C2】____
全血的黏滞性主要取决于
压缩式制冷装置压气机吸入的空气P1=0.1MPa，t1=27℃，定熵压缩至P2=0.5MPa，再经定压冷却后温度降为32℃，则该压缩机的制冷系数为()。
现代城市规划形成的法律实践是指()。
在搅拌第一盘混凝土时，考虑到筒壁上的砂浆损失，()用量应按配合比规定减半。
填筑排水砂垫层施工前施工单位应做压实工艺性试验，确定主要工艺参数，并报（）确认。
贴现发行方式一般用于以下期限债券的发行()
　2015年3月5日，A房地产开发公司(以下简称“A公司”)通过互联网借贷平台“宜房贷”的介绍，与B建筑公司(以下简称B公司)签订了借款合同。该借款合同约定：借款总额为2亿元；借款期限为1年；借款利率为年利率24％，1年应付利息在发放借款之日预先一次从借款
在武术运动中，()是直线击打对手的进攻手法。
To:AllstaffFrom;PersonnelDept.Date:December26th,2008Subject:AppointmentofaNewVicePresidentYouwillbepleas

最新回复(0)

设n阶矩阵A和B满足等式 AB=aA+bB， 其中a和b为非零实数。证明： (Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆； (Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆； (Ⅲ)AB=BA。

考研数学一

设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．

[*]

假设一厂家生产的每台仪器以概率0．7可直接出厂，以概率0．3需进一步调试，经调试后以概率0．8可出厂，概率0．2不合格而不能出厂，现该厂生产n(n≥2)台仪器(设仪器生产过程相互独立)．不能出厂的仪器数的期望和方差．

已知随机变量X和Y独立，X的概率分布和y的概率密度相应为试求随机变量Z=X+Y的概率分布．

已知随机变量X的概率密度(I)求分布函数F(x)；(II)若令Y＝F(X)，求Y的分布函数FY(y)·

设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=O，证明：A不可以对角化．

函数f(x，y)=1+x+y在区域{(x，y)｜x2+y2≤1)上的最大值与最小值之和为()

设半径为R的球之球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．

一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．

Inanycomprehensiontextyouwillfindwordsthatyoudon’tknow.Youcan【C1】______themupinadictionary,ofcourse,【C2】____

全血的黏滞性主要取决于

压缩式制冷装置压气机吸入的空气P1=0.1MPa，t1=27℃，定熵压缩至P2=0.5MPa，再经定压冷却后温度降为32℃，则该压缩机的制冷系数为()。

现代城市规划形成的法律实践是指()。

在搅拌第一盘混凝土时，考虑到筒壁上的砂浆损失，()用量应按配合比规定减半。

填筑排水砂垫层施工前施工单位应做压实工艺性试验，确定主要工艺参数，并报（）确认。

贴现发行方式一般用于以下期限债券的发行()

在武术运动中，()是直线击打对手的进攻手法。

To:AllstaffFrom;PersonnelDept.Date:December26th,2008Subject:AppointmentofaNewVicePresidentYouwillbepleas

设n阶矩阵A和B满足等式 AB=aA+bB，其中a和b为非零实数。证明： (Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆； (Ⅱ)A可逆的充分必要条件是B可逆； (Ⅲ)AB=BA。

Inanycomprehensiontextyouwillfindwordsthatyoudon’tknow.Youcan【C1】__themupinadictionary,ofcourse,【C2】