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  3. 计算二重积分(2x2+y2-2x+2y)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤2x}。

计算二重积分(2x2+y2-2x+2y)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤2x}。

admin2021-01-31  48
问题 计算二重积分(2x2+y2-2x+2y)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤2x}。
选项
答案方法一： 由对称性得[*](2x2+y2-2x+2y)dxdy=[*](2x2+y2-2x)dxdy， 令[*]，(-π/2≤θ≤π/2，0≤r≤2cosθ)，则 [*](2x2+y2-2x)dxdy=∫π/2π/2dθ∫02cosθr(r2+r2cos2θ-2rcosθ)dr =∫π/2-π/2(4cos1θ+4cos6θ-16/3cos4θ)dx =2∫0π/2(4cos6θ-4/3cos4θ)dθ=3π/4。 方法二： 由对称性得[*](2x2+y2-2x+2y)dxdy=[*](2x2+y2-2x)dxdy， 区域D化为(x-1)2+y2≤1， 令[*](0≤θ≤2π，0≤r≤1)，则 [*](2x2+y2-2x)dxdy=[*][(x-1)2+y2+x2-1]dxdy =∫02πdθ∫01r[r2+(1+rcosθ)2]dr-π =∫02πdθ∫01(r3+r+2r2cosθ+r3cos2θ)dr-π =∫02π(3/4+2/3cosθ+1/4cos2θ)dθ-π [*]
解析
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考研数学三

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