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已知α1是矩阵A属于特征值A=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
已知α1是矩阵A属于特征值A=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
admin
2017-01-13
42
问题
已知
α
1
是矩阵A属于特征值A=1的特征向量，α
2
与α
3
是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
选项
A、(α
1
，一α
2
，α
3
)。
B、(α
1
，α
2
+α
3
，α
2
一2α
3
)。
C、(α
1
，α
3
，α
2
)。
D、(α
1
+α
2
，α
1
一α
2
，α
3
)。
答案
D
解析
若
P=(α
1
,α
2
,α
3
)，则有AP=PA，即(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(λ
1
α
1
，λ
2
α
2
，λ
3
α
3
)，可见α
i
是矩阵A属于特征值λ
i
(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α
1
,α
2
,α
3
线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值A的特征向量。本题中，α
2
，α
3
是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α
2
+α
3
，α
2
一2α
3
仍是λ=5的特征向量，并且α
2
+α
3
，α
2
一2α
3
线性无关，故选项B正确。对于选项C，因为α
2
，α
3
均是λ=5的特征向量，所以α
2
与α
3
谁在前谁在后均正确。故选项C正确。由于α
1
，α
2
是不同特征值的特征向量，因此α
1
+α
2
，α
1
一α
2
不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。所以应选D。
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