2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0． 证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)； (2)在(a，b)内至少存在一点η，且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)

设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0． 证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)； (2)在(a，b)内至少存在一点η，且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)

admin2018-09-20  88
问题 设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．
证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；
(2)在(a，b)内至少存在一点η，且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．
选项
答案(1)由积分中值定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使得 [*] 设G(x)=e-xf(x)，则G(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G(a)=G(b)=G(c)=0， G’(x)=e-xf’(x)一e-xf(x)=e-x[f’(x)一f(x)]．由罗尔定理知，分别存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)， 使得G’(ξ1)=G’(ξ2)=0，从而f’(ξ1)=f(ξ1)，f’(ξ2)=f(ξ2)． (2)设F(x)=ex[f’(x)一f(x)]，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(ξ1)=F(ξ2)=0， 则 F’(x)=ex[f"(x)一f’(x)]+ex[f’(x)一f(x)]=ex[f"(x)一f(x)]． 对F(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，即存在η∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得F’(η)=0，故有 f”(η)=f(η)，且η≠ξi(i=1，2)．
解析
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考研数学三

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