[2011年] 微分方程y′+y=e-xcox满足条件y(0)=0的解为．y=________．

admin2019-05-10 87

问题 [2011年] 微分方程y′+y=e^-xcox满足条件y(0)=0的解为．y=________．

选项

答案利用式(1．6．1．2)求出通解，再由y(0)=0得特解，也可直接利用式(1．6．1．3)求解．因方程右端含e^-x因子，还可用凑导数法求之．解一注意到y′+y=y′+(x)′y=e^-xcosx，在其两边乘上e^x得到 y′e^x+e^xx′y=e^xe^-xcosx=cosx，即(ye^x)′=cosx．两边积分得到 ye^x=∫cosxdx+C=sinx+C，即 y=e^-xsinx+Ce^-x．由y(0)=0，得到c=0，故所求特解为y=e^-xsinx．解二所求的特解为满足初值问题[*]的解，其解由式(1．6．1．3)直接得到，其中P(x)=1，Q(x)=e^-xcosx，故 y=e^{-∫₀^xP(x)dx}(∫₀^xQ(x)e^{∫₀^xP(x)dx}dx+0)=e^{-∫₀^xdx}(∫₀^xe^-xcosxe^{∫₀^xdx}dx) =e^-x(∫₀^xe^-xe^xcosx dx)=e^-x∫₀^xcosxdx=e^-xsinx．

解析

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考研数学二

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