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设A，B为n阶矩阵，如下命题： ①若A2～B2，则A～B； ②若A～B且A，B可逆，则A-1+A2～B-1+B2； ③若A，B特征值相同，则A～B； ④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化。 中正确的命题为(
设A，B为n阶矩阵，如下命题： ①若A2～B2，则A～B； ②若A～B且A，B可逆，则A-1+A2～B-1+B2； ③若A，B特征值相同，则A～B； ④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化。 中正确的命题为(
admin
2022-06-19
69
问题
设A，B为n阶矩阵，如下命题：
①若A
2
～B
2
，则A～B；
②若A～B且A，B可逆，则A
-1
+A
2
～B
-1
+B
2
；
③若A，B特征值相同，则A～B；
④若A～B且A可相似对角化，则B可相似对角化。
中正确的命题为( )。
选项
A、①③
B、①②
C、②③
D、②④
答案
D
解析
取A=
，B=
，因为A
2
=B
2
=0，所以A
2
～B
2
，
因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P
-1
AP=B，
从而P
-1
A
-1
P=B
-1
且P
-1
A
2
P=B
2
，于是P
-1
(A
-1
+A
2
)P=B
-1
+B
2
，
即A
-1
+A
2
～B
-1
+B
2
，则②正确；
设A=
，B=
，显然A，B特征值相同，而r(A)≠r(B)，故A与B不相似，则③不正确，
设A～B.即存在可逆阵P
1
，使得P
1
-1
AP
1
=B且A，B的特征值相同.设其为λ
1
，…，λ
n
，
因为A可相似对角化，所以存在可逆阵P
2
，使得
P
2
-1
AP
2
=
，即A=P
2
P
2
-1
，
于是A=P
1
BP
1
-1
=P
2
P
2
-1
，即
P
2
-1
P
1
BP
1
-1
=
，或(P
1
-1
P
2
)
-1
BP
1
-1
P
2
=
，
故B可相似对角化，则④正确，应选D。
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/hJR4777K
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考研数学三
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