2. 考研
  3. (I)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n． 证明：AB和BA有相同的特征值，且AB~BA； (II)对一般的n阶矩阵A，B，是否必有AB~BA?说明理由．

(I)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n． 证明：AB和BA有相同的特征值，且AB~BA； (II)对一般的n阶矩阵A，B，是否必有AB~BA?说明理由．

admin2014-04-16  92
问题 (I)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ=1，2，…，n．
证明：AB和BA有相同的特征值，且AB~BA；
(II)对一般的n阶矩阵A，B，是否必有AB~BA?说明理由．
选项
答案(1)因A有n个互不相同的非零特征值，｜A｜=n!≠0，站A可逆，从而有｜λE－AB｜=｜A(λA-1－B)｜=｜A｜｜λE－BA-1｜=｜λE－BA｜．即AB和BA有棚同的特征多项式，故有相同的特征值．又若取可逆阵P=A，则有P-1ABP=A-1ABA-1=BA．故有AB~BA． (Ⅱ)一般AB≠BA，例如，[*]则有[*]显然r(AB)=0，r(BA)=1,故AB≠BA． (1)要证明相似，应找出可逆阵P，使得P-1ABP=BA．(2)要说明可能不相似，只要举出一个反例即可．由(I)已知A可逆时，必有AB~BA，故举反例应举A是不可逆矩阵．(3)相似必有相同的λ，但λ相同不一定相似．
解析
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考研数学二

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