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设f(x，y)在D={(x，y)｜ x2+y2≤1}上连续，且满足 求f(x，y).
设f(x，y)在D={(x，y)｜ x2+y2≤1}上连续，且满足 求f(x，y).
admin
2022-05-20
57
问题
设f(x，y)在D={(x，y)｜ x
2
+y
2
≤1}上连续，且满足
求f(x，y).
选项
答案
由f(x,y)连续，知[*](1+x
2
+y
2
)f(x，y)dxdy存在，是一个常数，记A=(1+x
2
+y
2
)f(x，y)dxrdy，则由已知等式，有 (1+x
2
+y
2
)f(x，y)=㏑(1+x
2
+y
2
)-xy(1+x
2
+y
2
)A， 故A=[*](1+x
2
+y
2
)f(x,y)dxdy=[*]㏑(1+x
2
+y
2
)dxdyy-A[*]xy(1+x
2
+y
2
)dxdy. 由于D关于x，y轴均对称，且xy(1+x
2
+y
2
)关于x，y均为奇函数，故 [*]xy(1+x
2
+y
2
)dxdy=0 从而 A=Ⅱ[*]㏑(1+x
2
+y
2
)dxdy=∫
0
2π
dθ㏑(1+r
2
)·rdr =1/2∫
0
2π
dθ∫
0
1
㏑(1+r
2
)d(1+r
2
)=1/2·2π∫
0
1
㏑(1+r
2
)d(1+r
2
) (1+r
2
-t)π∫
1
2
㏑tdt=(2㏑2-1)π． 故f(x,y)=［㏑(1+x
2
+y
2
)］／(1+x
2
+y
2
)-(2㏑2-1)πxy
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/hFR4777K
0
考研数学三
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[*]
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