设1=(6，一1，1)T与2=(一7，4，2)T是线性方程组的两个解，则此方程组的通解是___________。

admin2017-01-13 57

问题设₁=(6，一1，1)^T与₂=(一7，4，2)^T是线性方程组

的两个解，则此方程组的通解是___________。

选项

答案(6，一1，1)^T+k(13，一5，一1)^T，k为任意常数

解析一方面因为α₁，α₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，所以一定有r(A)=r(A)＜3。另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式

所以一定有r(A)≥2，因此必有r(A)=r(A)=2。由n—r(A)=3—2=1可知，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知α₁一α₂=(6，一1，1)^T一(一7，4，2)^T=(13，一5，一1)^T是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，则方程组的通解为X=(6，一1，1)^T+k(13，一5，一1)^T，k为任意常数。

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考研数学二

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