2. 考研
  3. 设函数y(χ)在区间[0，＋∞)上有连续导数，并且满足y(χ)＝－1＋χ＋2∫0χ(χ－t)y(t)y′(t)dt． 求y(χ)．

设函数y(χ)在区间[0，＋∞)上有连续导数，并且满足y(χ)＝－1＋χ＋2∫0χ(χ－t)y(t)y′(t)dt． 求y(χ)．

admin2019-06-29  80
问题 设函数y(χ)在区间[0，＋∞)上有连续导数，并且满足y(χ)＝－1＋χ＋2∫0χ(χ－t)y(t)y′(t)dt．
    求y(χ)．
选项
答案对所给方程变形 y(χ)＝－1＋χ＋2χ∫0χy(t)y′(t)dt－2∫0χty(t)y′(t)dt． 方程两端对χ求导，得 y′(χ)＝1＋2∫0χy(t)y′(t)dt， 继续求导，得 y〞(χ)＝2y(χ)y′(χ)，且y(0)＝－1，y′(0)＝1． 微分方程不显含自变量χ，令P＝y′，方程可化为 P[*]＝2py， 这是自变量可分离的微分方程，求得通解为 P＝y2＋c1，即y′＝y2＋c1， 由y(0)＝－1，y′(0)＝1可得，c1＝0， 从y′＝y2，所以y＝－[*]． 再由y(0)＝－1，得c2＝1， 故函数y＝－[*]．
解析
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考研数学二

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