2. 考研
  3. 两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M．连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R．求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大．

两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M．连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R．求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大．

admin2021-07-08  111
问题 两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M．连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R．求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大．
选项
答案[*] 首先计算一个圆绕其外一直线旋转所得旋转体体积V1的通式．建立坐标系如图1-10-11(a)所示．设圆的半径为a，圆心到转轴的距离为ρ，则圆的方程为x2+(y-ρ2)2=a2．故有 [*] 现设上面小圆的半径为r，则下面小圆的半径为R—r，且上、下两个小圆的圆心到转轴的距离分别为3R—r，2R—r，如图1-10-11(b)所示．于是，所述旋转体的体积为 V=V大一V上一V下 =2π2(2R)R2一2π2(3R—r)r2一2π2(2R一r)(R—r)2 =2π2(2r3一7Rr2+5R2r)(0＜r＜R)． 令[*]=2π2(6r2一14Rr+5R2r)=0,可解得r=[*] 这是函数V(r)在其定义域(0,R)内的唯一驻点.因为在该点处[*],所以当[*]时,函数V(r)取极大值，从而也是最大值．此时，上、下两个小圆的半径分别为r=[*]
解析
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考研数学二

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