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  3. (1)求定积分an=∫02x(2x－x2)ndx，n=1，2，…； (2)对于(1)中的an，证明an+1

(1)求定积分an=∫02x(2x－x2)ndx，n=1，2，…； (2)对于(1)中的an，证明an+1

admin2018-07-23  64
问题 (1)求定积分an=∫02x(2x－x2)ndx，n=1，2，…；
(2)对于(1)中的an，证明an+1n，t(n=1，2，…)且．
选项
答案（1）当n≥2时，计算an=∫02x(2x－x2)ndx=∫02x[1－(1－x)2]ndx， 作积分变量代换，令1－x=t，于是 an=∫1－1(1－t)(1－t2)n(－dt)=∫－11(1－t2)ndt－∫－11t(1－t2)ndt =∫－11(1－t2)ndt =2∫01(1－t2)ndt． 下面用分部积分计算： [*] 所以 [*] 由此迭代式得 [*] (2) 由an的迭代式显然有0＜an＜an－1 (n=2，3，…)．又 [*]
解析
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考研数学二

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