设曲线积分∫Lxy2dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ(x)具有连续的一阶导数，且φ(0)=0．计算曲线积分I=∫(0，0)(1，1)xy2dx+yφ(x)dy的值．

admin2017-05-31 83

问题设曲线积分∫_Lxy²dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ(x)具有连续的一阶导数，且φ(0)=0．计算曲线积分I=∫_(0，0)^(1，1)xy²dx+yφ(x)dy的值．

选项

答案设P(x，y)=xy²， Q(x，y)=yφ(x)，由[*]即2xy=yφ’(x)．解此一阶线性微分方程，得φ(x)=x²+c．再由φ(0)=0，得c=0，故φ(x)=x²．于是：利用全微分方程 [*]

解析本题主要考查曲线积分与路径无关的充分必要条件，一阶线性微分方程求特解的方法以及相应的曲线积分．

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