2. 考研
  3. 设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积．

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积．

admin2022-10-25  80
问题 设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积．
选项
答案S1(c)=cf(c)，S2(c)=∫c1f(t)dt=-∫1cf(t)dt，即证明S1(c)=S2(c)，或cf(c)+∫1cf(t)dt=0．令φ(x)=x∫1xf(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ’(c)=0，即cf(c)+∫1cf(t)dt=0，所以S1(c)=S2(c)，命题得证。
解析
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考研数学三

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