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  3. 设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0 ，的解．

设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数． 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0 ，的解．

admin2017-05-31  106
问题 设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0 ，的解．
选项
答案微分方程①所对应的齐次微分方程y’’一y=0的通解为[*]其中C1，C2为任意常数． 微分方程①的特解为y*=Acosx+Bsinx，代入到微分方程①中，得A=0，[*]其中c1，c2为任意常数． 由条件y(0)=0，[*]得c1=1，c2=一1．因此，所求初值问题的解为[*]
解析 利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则求出的表达式．代入原微分方程，即得所求的微分方程．然后再求此方程满足初始条件的微分方程．
利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则变换微分方程的形式，这一思路在微分方程的求解过程中经常使用．
    (1)典型微分方程(诸如：齐次微分方程、线性微分方程、伯努利方程、高阶可降阶的微分方程及欧拉方程)，有固定的解法．
    (2)非典型微分方程，通常结合微分方程的特定形式，选择适当的变量替换，化为典型的微分方程，常常是求解的一个非常有效的途径．
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