设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．

admin2017-06-26 57

问题设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_n线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α₁，α₂，…，α_n线性无关．

选项

答案由条件有k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_nα_n＝β…①．必要性．设表示唯一，若λ₁α₁＋λ₂α₂＋…＋λ_nα_n＝0…②，①与②两端分别相加，得 (k₁＋λ₁)α₁＋(k₂＋λ₂)α₂＋…＋(k_n＋λ_n)α_n＝β…③，由表示唯一，比较①与③，得k_j＝k_j＋λ_j(j＝1，2，…，n)[*]λ_j＝0(j＝1，2，…，n)，[*]α₁，α₂，…，α_n线性无关．充分性：设α₁，α₂，…，α_n线性无关，若还有s₁α₁＋s₂α₂＋…＋s_nα_n＝β…④，①－④，得(k₁－s₁)α₁＋(k₂－s₂)α₂＋…＋(k_n－s_n)α_n＝0，由α₁，α₂，…，α_n线性无关，得k_j＝s_j(j＝1，2，…，n)，即④式必为①式，故表示唯一．

解析

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考研数学三

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