设n阶矩阵A≠O，存在某正整数m，使Am＝O，证明：A必不相似于对角矩阵．

admin2016-06-30 76

问题设n阶矩阵A≠O，存在某正整数m，使A^m＝O，证明：A必不相似于对角矩阵．

选项

答案可用反证法：设λ为A的任一特征值，χ为对应的特征向量，则有Aχ＝λχ，[*]A²χ＝λAχ＝λ²χ…，[*]A^mχ＝λ^mχ，因A^m＝O，χ≠0，得λ＝0，故A的特征值都是零，因此，若A可相似对角化，即存在可逆矩阵P，使p^-1AP＝diag(0，0，…，0)＝O，则A＝POP^-1＝O，这与A≠0矛盾．

解析

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