设二次型f(x1，x2，x3)=－2x1x2+6x1x3－6x2x3的矩阵合同于． (Ⅰ)求常数a； (Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形.

admin2016-03-26 58

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=

－2x₁x₂+6x₁x₃－6x₂x₃的矩阵合同于

．
(Ⅰ)求常数a；
(Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x₁，x₂，x₃)为标准形.

选项

答案(Ⅰ)令A=[*]则f(x₁，x₂,x₃)=X^TAX. 因为A与[*]合同，所以r(A)=2<3，故｜A｜=0．由｜A｜=[*] (Ⅱ)由｜λE一A｜=[*]=λ(λ－4)(λ－9)=0得λ₁=0，λ¹=0，λ²=4，λ³=9．由(0E—A)X=0得[*]；由(4E－A)X=0得[*]；由(9E—A)X=0得 [*] 令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]，则f(x₁，x₂ ,x₃)=X^TAX[*]Y^T(Q^TAQ)Y=[*]

解析

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考研数学三

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