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A是2阶矩阵,2维列向量α1,α2线性无关,Aα1=α1+α2,Aα2=4α1+α2.求A的特征值和|A|.
A是2阶矩阵,2维列向量α1,α2线性无关,Aα1=α1+α2,Aα2=4α1+α2.求A的特征值和|A|.
admin
2018-06-27
87
问题
A是2阶矩阵,2维列向量α
1
,α
2
线性无关,Aα
1
=α
1
+α
2
,Aα
2
=4α
1
+α
2
.求A的特征值和|A|.
选项
答案
方法一先找A的特征向量.由于α
1
,α
2
线性无关,每个2维向量都可以用它们线性表示.于是A的特征向量应是α
1
,α
2
的非零线性组合c
1
α
1
+c
2
α
2
,由于从条件看出α
1
不是特征向量,c
2
不能为0,不妨将其定为1,即设η=cα
1
+α
2
是A的特征向量,特征值为λ,则Aη=λη, Aη=A(cα
1
+α
2
)=c(α
1
+α
2
)+4α
1
+α
2
=(c+4)α
1
+(c+1)α
2
, 则 (c+4)α
1
+(c+1)α
2
=λ(cα
1
+α), 得c+4=λc,c+1=λ.解得c=2或-2,对应的特征值λ分别为3,-1.|A|=-3. 方法二A(α
1
,α)=(α
1
+α
2
,4α
1
+α
2
),用矩阵分解法,得 (α
1
+α
2
,4α
1
+α
2
)=(α
1
,α
2
)[*] 记B=[*],则A(α
1
,α
2
)=(α
1
,α
2
)B. 由于α
1
,α
2
线性无关,(α
1
,α
2
)是可逆矩阵,于是A相似于B. A和B的特征值一样. |λE-B|=[*]=(λ+1)(λ-3). 得A的特征值为-1,3.|A|=-3.
解析
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考研数学二
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