A是2阶矩阵，2维列向量α1，α2线性无关，Aα1=α1+α2，Aα2=4α1+α2．求A的特征值和｜A｜．

admin2018-06-27 87

问题 A是2阶矩阵，2维列向量α₁，α₂线性无关，Aα₁=α₁+α₂，Aα₂=4α₁+α₂．求A的特征值和｜A｜．

选项

答案方法一先找A的特征向量．由于α₁，α₂线性无关，每个2维向量都可以用它们线性表示．于是A的特征向量应是α₁，α₂的非零线性组合c₁α₁+c₂α₂，由于从条件看出α₁不是特征向量，c₂不能为0，不妨将其定为1，即设η=cα₁+α₂是A的特征向量，特征值为λ，则Aη=λη， Aη=A(cα₁+α₂)=c(α₁+α₂)+4α₁+α₂=(c+4)α₁+(c+1)α₂，则 (c+4)α₁+(c+1)α₂=λ(cα₁+α)，得c+4=λc，c+1=λ．解得c=2或-2，对应的特征值λ分别为3，-1．｜A｜=-3．方法二A(α₁，α)=(α₁+α₂，4α₁+α₂)，用矩阵分解法，得 (α₁+α₂，4α₁+α₂)=(α₁，α₂)[*] 记B=[*]，则A(α₁，α₂)=(α₁，α₂)B．由于α₁，α₂线性无关，(α₁，α₂)是可逆矩阵，于是A相似于B． A和B的特征值一样．｜λE-B｜=[*]=(λ+1)(λ-3)．得A的特征值为-1，3．｜A｜=-3．

解析

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考研数学二

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