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  3. A是2阶矩阵，2维列向量α1，α2线性无关，Aα1=α1+α2，Aα2=4α1+α2．求A的特征值和｜A｜．

A是2阶矩阵，2维列向量α1，α2线性无关，Aα1=α1+α2，Aα2=4α1+α2．求A的特征值和｜A｜．

admin2018-06-27  86
问题 A是2阶矩阵，2维列向量α1，α2线性无关，Aα1=α1+α2，Aα2=4α1+α2．求A的特征值和｜A｜．
选项
答案方法一先找A的特征向量．由于α1，α2线性无关，每个2维向量都可以用它们线性表示．于是A的特征向量应是α1，α2的非零线性组合c1α1+c2α2，由于从条件看出α1不是特征向量，c2不能为0，不妨将其定为1，即设η=cα1+α2是A的特征向量，特征值为λ，则Aη=λη， Aη=A(cα1+α2)=c(α1+α2)+4α1+α2=(c+4)α1+(c+1)α2， 则 (c+4)α1+(c+1)α2=λ(cα1+α)， 得c+4=λc，c+1=λ．解得c=2或-2，对应的特征值λ分别为3，-1．｜A｜=-3． 方法二A(α1，α)=(α1+α2，4α1+α2)，用矩阵分解法，得 (α1+α2，4α1+α2)=(α1，α2)[*] 记B=[*]，则A(α1，α2)=(α1，α2)B． 由于α1，α2线性无关，(α1，α2)是可逆矩阵，于是A相似于B． A和B的特征值一样． ｜λE-B｜=[*]=(λ+1)(λ-3)． 得A的特征值为-1，3．｜A｜=-3．
解析
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考研数学二

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