2. 考研
  3. 设函数y=f(x)在区间[0，1]上非负、存在二阶导数，且f(0)=0，有一块质量均匀的平板D，其占据的区域是曲线y=f(x)与直线x=1以及x轴围成的平面图形．用表示平板D的质心的横坐标．求证： 若f’(x)＞0(0≤x≤1),则(如图1-10-4)

设函数y=f(x)在区间[0，1]上非负、存在二阶导数，且f(0)=0，有一块质量均匀的平板D，其占据的区域是曲线y=f(x)与直线x=1以及x轴围成的平面图形．用表示平板D的质心的横坐标．求证： 若f’(x)＞0(0≤x≤1),则(如图1-10-4)

admin2021-07-08  102
问题 设函数y=f(x)在区间[0，1]上非负、存在二阶导数，且f(0)=0，有一块质量均匀的平板D，其占据的区域是曲线y=f(x)与直线x=1以及x轴围成的平面图形．用表示平板D的质心的横坐标．求证：

若f’(x)＞0(0≤x≤1),则(如图1-10-4)；
选项
答案设平板质量密度为ρ,则 [*] 欲证[*],只需证明[*] 令[*] 又 [*] 由积分中值定理,存在ξ∈(0,x),满足∫0xf(t)dt=xf(ξ).又f’(x)＞0,故 [*] 所以F(x)在区间[0,1]上单调增加,因此当0＜x≤1时,有F(x)＞F(0)=0.所以有 [*]
解析
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考研数学二

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