设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

admin2019-05-11 71

问题设A=

，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

选项

答案｜λE-A｜=[*]=(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0，得矩阵A的特征值为λ₁=1-a，λ₂=a，λ₃=1+a． (1)当1-a≠a，1-a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠[*]时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化． λ₁=1-a时，由[(1-a)E-A]X=0得ξ₁=[*]；λ₂=a时，由(aE-A)X=0得ξ₂=[*]；λ₃=1+a时，由[(1+a)E-A]X=0得ξ₃=[*] [*] (2)当a=0时，λ₁=λ₃=1，因为r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化． (3)当[*]的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．

解析

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考研数学二

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设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．

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设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．

用配方法化下列二次型为标准形：f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22－5χ32＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3．

设A是三阶实对称矩阵，且A2＋2A＝O，r(A)＝2．(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，A＋kE为正定矩阵?

设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝3，其对应的线性无关的特征向量分别为，向量β＝，求Anβ．

设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且∫01f(t)dt＝0证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝∫0ξf(t)dt．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＋f(ξ)g′(ξ)＝0．

计算(4－χ2－y2)dχdy，其中D为由圆χ2＋y2＝2y所围成的平面闭区域．

计算I＝y2dσ，其中D由χ＝－2，y＝2，χ轴及曲线χ＝－围成．

设A＝，｜A｜＝－1，α＝为A的特征向量，求A的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．

曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是_________．

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