2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3． 用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3． 用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2016-01-11  34
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．
选项
答案矩阵A的特征多项式为[*] 由此得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=一6．于是，二次型f可通过正交变换x=Oy化为标准形f=y12+6y22—6y32． 对于特征值λ1=1，由于[*] 故对应于特征值λ1=1的特征向量可取为ξ1=(2，0，一1)T． 类似地，对应于特征值λ1=6，λ2=-6的特征向量可分别取为 ξ2=(1，5，2)T，ξ3=(1，一1，2)T． 因为A是实对称矩阵，且λ1，λ2，λ3互异，故x1，x2，x3构成正交向量组，将其单位化得[*] 故对二次型f作正交变换[*] 则可将f化为标准形f=y12+6y22一6y32．
解析 本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特征向量的求法．先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量，再将特征向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把f化为标准形．
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考研数学二

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