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  3. 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=2E+ATA．试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=2E+ATA．试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．

admin2019-05-08  59
问题 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=2E+ATA．试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．
选项
答案证一 下面证B为实对称矩阵，且对任意X≠0，有XTBX＞0． 因BT=(λE+ATA)T=(λE)T+(ATA)T=λE+ATA=B，故B为n阶实对称矩阵．又对任意的n维向量X，有 XTBX=XT(λE+ATA)X=λXTX+XTATAX=λXTX+(AX)T(AX)． 当X≠0时，有XTX＞0，(AX)TAX≥0，因此当λ＞0时，对任意X≠0，有 XTBX=λXTX+(AX)T(AX)＞0， 则B为正定矩阵． 证二 为证B正定，下证B的特征值全大于零．设μ为B的任意一特征值，X为对应的特征向量，则BX=μX，即 (λE+ATA)X=μX，亦即 λX+ATAX=μX (X≠0)． 两边左乘XT，得到 λXTX+λXTATAX=λXTX+λ(AX)T(AX)=μXTX． 因X≠0，故XTX＞0．又λ＞0(题设)，故λXTX＞0，而(AX)TAX≥0，从而λ(AX)T(AX)≥0，故 λXTX+λ(AX)T(AX)＞0， 即 μXTX＞0． 而XTX＞0，故μ＞0，即B的特征值全大于零，故B正定．
解析
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考研数学三

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