(2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时?

admin2021-01-19 90

问题 (2001年试题，九)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的

，问雪堆全部融化需要多少小时?

选项

答案以半径r为未知函数，雪堆在时刻t的体积[*]，侧面积s=2πr²，由题设知[*]化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程[*]解之得r=一kt+C，由初始条件r｜_t=0=r₀，可得出C=r₀，所以r=r₀一kt又由已知[*]从而[*]可求出=[*]，因此r=r₀一[*]，雪堆全部融化时r=0，从而[*]，得t=6，即全部融化需6小时．解析二以雪堆体积V为未知函数，在时刻[*]，侧面积-S=2πr²，即S=[*]，由题设，[*]此即以V，为未知函数的微分方程，分离变量得[*]两边积分得[*]由已知，当t=0时，[*]；当t=3时，[*]代入上式分别得到[*]联立此二式可解出[*]从而有[*]令V=0，则t=6，即雪堆全部融化需6小时．

解析本题为实际问题，可通过建立数学模型转化为数学问题来解决，但要注意速度为失量，把“体积融化的速率与半球面面积S成正比”理解为

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考研数学二

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考研数学二

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设f(x)在(－∞，+∞)连续，在点x=0处可导，且f(0)=0，令(Ⅰ)试求A的值，使F(x)在(－∞，+∞)上连续；(Ⅱ)求F’(x)并讨论其连续性．

求下列y(n)：

设f(x，y)=证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但在点(0，0)处不连续．

求分别满足下列关系式的f(x)．1)f(x)=∫0xf(t)dt，其中f(x)为连续函数；2)f’(x)+xf’(一x)=x．

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf′(η)＋f(η)＝0．

设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程exy一y=0和ez一xz=0所确定，求

设f(x)为[a，b]上的函数且满足则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：(1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数．(2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：

不计算积分，比较下列各组积分值的大小：

设A是n阶矩阵，证明：A=O的充要条件是AAT=O.

国际化的化工企业一般采取【　　】

A．沉香散B．八正散C．柴胡疏肝散D．逍遥丸癃闭之肝郁气滞证，治宜当选

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航空旅客意外伤害保险属于()。

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有以下程序：#include＜stdio．h＞intf(intx)；main(，){intn=1，m；m=f(f(f(n)))；printf("％d＼n"，m)；

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