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  3. 求函数f(x，y)＝2x2－2y3＋6x2＋6y2－18x的最值。

求函数f(x，y)＝2x2－2y3＋6x2＋6y2－18x的最值。

admin2019-01-25  62
问题 求函数f(x，y)＝2x2－2y3＋6x2＋6y2－18x的最值。
选项
答案根据已知函数可得 f＇x(x，y)＝6x2＋12x－18，f＇x(x，y)＝－6y2＋12y， 令它们等于0得出驻点坐标 [*] 解得相应的驻点坐标为(1，0)，(1，2)，(－3，0)，(－3，2)。 又因为 A＝f＂xx(x，y)＝12x＋12，B＝f＂xy(x，y)＝0，C＝f＂yy(x，y)＝－12y＋12， 根据极值的充分条件： 点(1，0)处，A＝24，B＝0，C＝12，则AC－B2＞0且A＞0，因此f(1，0)＝－10为极小值； 点(1，2)处，A＝24，B＝0，C＝－12，则AC－B2＜0，因此(1，2)不是极值点； 点(－3，0)处，A＝－24，B＝0，C＝12，则AC－B2＜0，因此(－3，0)不是极值点； 点(－3，2)处，A＝－24，B＝0，C＝－12，则AC－B2＞0且A＜0，因此f(－3，2)＝62为极大值。 由于函数只有一个极小值和一个极大值，因此极值也是最值，即函数的最小值为f(1，0)＝－10，最大值为f(－3，2)＝62。
解析 本题考查函数的最值。无条件限制的极值问题，首先通过对x和y分别求偏导令其等于0，求出函数的驻点，再分别令A＝f＂xx，B＝f＂xy，C＝f＂yy，通过判断AC－B2的正负判断驻点处是否取极值，是极大值还是极小值。
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考研数学三

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