设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1。

admin2019-06-28 53

问题设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f^’(x)+f(x)一

∫₀^xf(t)dt=0。
证明：当x≥0时，成立不等式e^－x≤f(x)≤1。

选项

答案由(I)中结果知，当x≥0时，f^’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。设φ(x)=f(x)一e^－x，则 φ(0)=0，φ^’(x)=f^’(x)+e^－x=[*]e^－x，当x≥0时，φ^’(x)≥0，即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有 f(x)≥e^－x。综上所述，当x≥0时，不等式e^－x≤f(x)≤1成立。

解析

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