[2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______．

admin2021-01-15 45

问题 [2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2e^x，则f(x)=______．

选项

答案f(x)=e^x

解析方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r²+r=2一(r+2)(r一1)=0，其特征根为r₁=一2，r₂=1．于是齐次方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C₁e^x+C₂e^-2x，则f’(x)=C₁e^x-2C₂e^-2x，f’’(x)=C₁e^x+4C₂e^-2x．代入非齐次方程f’’(x)+f(x)=2e^x，得到
C₁e^x+4C₂e^-2x+C₁e^x+C₂e^-2x=2C₁e^x+5C₂e^-2x=2e^x，
故C₁=1，C₂=0，于是所求f(x)=e^x．

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