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用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1，x2，x3)=－4x1x2+2x1x3+2x2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换．
用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1，x2，x3)=－4x1x2+2x1x3+2x2x3 为标准形，并求此非退化的线性变换．
admin
2016-11-03
38
问题
用非退化(可逆)的线性变换化二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=－4x
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
为标准形，并求此非退化的线性变换．
选项
答案
令 [*]① 则 [*] 再令 [*]② 则 原式=－[*] 因此原二次型的标准形为[*] 所作的非退化的线性变换是用新变量表示旧变量的线性变换，即 X=PZ， 其中X=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
， Z=[z
1
，z
2
，z
3
]
T
． 为求此变换，由方程组②得到 y
3
=z
3
， y
2
=z
2
， y
1
=(z
1
+z
3
)／2． 将此代入方程组①得到所求的非退化的线性变换： [*] 即 [*] 且使 [*]
解析
由于所给的二次型的各项全是交叉项，不含平方项，故常作可逆的线性变换：x
1
=y
1
+y
2
，x
2
=y
1
一y
2
，x
3
=y
3
将其化为标准形．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/fXu4777K
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考研数学一
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2
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