设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。证明： α1,α2，…，αn-1ξ线性无关。

admin2019-07-22 53

问题设向量α₁,α₂，…，α_n-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ₁，ξ₂是与α₁,α₂，…，α_n-1均正交的n维非零列向量。证明：
α₁,α₂，…，α_n-1ξ线性无关。

选项

答案设k₁α₁+k₁α₂+…+k_n-1α_n-1+k₀ξ₁=0，两边取转置得 k₁α₁^T+k₂α₂^T+…+k_n-1α_n-1^T+k₀ξ₁^T=0，上式两端同时右乘ξ₁得 k₁α₁^Tξ₁+k₂α₂^Tξ₁+…+k_n-1α_n-1^Tξ₁+k₀ξ₁^Tξ₁=0，注意到α_i^Tξ₁=0(i=1，2，…，n一1)，所以k₀ξ₁^Tξ₁=0.由ξ₁≠0可得ξ₁^Tξ₁≠0，于是k₀=0，从而有k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1=0。又因为α₁，α₂，…，α_n-1线性无关，所以k₁=k₂=…=k_n-1=k₀=0，故α₁，α₂，…，α_n-1，ξ₁，线性无关。

解析

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考研数学二

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设向量α1,α2，…，αn-1是n—1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1,α2，…，αn-1均正交的n维非零列向量。证明： α1,α2，…，αn-1ξ线性无关。

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