2. 考研
  3. 设f(x)在[0,2]上三阶连续可导，且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=,证明：存在ξ∈（0,2），使得f"’(ξ)=2.

设f(x)在[0,2]上三阶连续可导，且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=,证明：存在ξ∈（0,2），使得f"’(ξ)=2.

admin2021-11-25  49
问题 设f(x)在[0,2]上三阶连续可导，且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=,证明：存在ξ∈（0,2），使得f"’(ξ)=2.
选项
答案方法一 先做一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得 P(0)=f(0)=1,P’(1)=f’(1)=0,P(2)=f(2)=[*],P(1)=f(1) [*] 令g(x)=f(x)－P(x),则g(x)在[0,2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0,所以存在c1∈(0,1),c2∈(1,2),使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0,又存在d1∈(c1,1),d2∈(1,c2)使得g”（d1)=g"(d2)=0,再由罗尔定理，存在ξ∈（d1，d2)[*](0,2),使得g’’’(ξ)=0,而g’’’(x)=f’’’(x)－2,所以f’’’(ξ)=2. 方法二 由泰勒公式，得 [*]
解析
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考研数学二

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