(2003年)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X～，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。

admin2021-01-25 58

问题 (2003年)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X～

，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。

选项

答案设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 G(u)=P{X+Y≤u} =0．3P{X+Y≤u｜X=1}+0．7P{X+Y≤u｜X=2} =0．3P{Y≤u-1｜X=1}+0．7P{Y≤u-2｜X=2}。由于X和Y独立，所以 G(u)=0．3P{Y≤u-1}+0．7P{Y≤u-2} =0．3F(u-1)+0．7F(u-2)。由此，得U的概率密度 g(u)=G’(u)=0．3F’(u-1)+0．7F’(u-2) =0．3f(u-1)+0．7f(u-2)。

解析

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