求证：当x＞0时不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．

admin2019-05-14 60

问题求证：当x＞0时不等式(1+x)ln²(1+x)＜x²成立．

选项

答案令f(x)=x²－(1+x)ln²(1+x)，则有f(0)=0， f′(x)=2x－ln²(1+x)－2ln(1+x)，f′(0)=0， [*] 于是f″(x)当x≥0时单调增加，又f″(0)=0，所以当x＞0时f″(x)＞f″(0)=0．从而f′(x)当x≥0时单调增加，又f′(0)=0，故当x＞0时f′(x)＞f′(0)=0．因此f(x)当x≥0时单调增加，又f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0．原不等式得证．

解析

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