证明Dn==an+an—1b+…+bn。

admin2019-03-23 37

问题证明D_n=

=aⁿ+a^n—1b+…+bⁿ。

选项

答案将行列式按照第一行展开得 D_n=(a+b)D_n—1—[*] 再将后一个行列式按照第一列展开，即得D_n=(a+b)D_n—1—abD_n—2。且易得D₁=a+b，D₂=a₂+ab+b₂。下面用数学归纳法证明：假设当n=k及n=k—1时，等式成立，即 D_k=a^k+a^k—1b+…+b^k，D_k—1=a^k—1+a^k—2b+…+b^k—1，则D_k+1=(a+b)D_k—abD_k—1 =(a+b)(a^k+a^k—1b+…+b^k)—ab(a^k—1+a^k—2b+…+b^k—1) =a^k+1+a^kb+…+b^k+1。故D_n=aⁿ+a^n—1b+…+bⁿ对所有的正整数成立。

解析

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考研数学二

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