如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱．BC、CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4． (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明：AF⊥平面A1ED．

admin2017-02-14 20

问题如图所示，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱．BC、CC₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4．
(1)求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
(2)证明：AF⊥平面A₁ED．

选项

答案(1)由已知条件建立空间直角坐标系，如下图所示，长方体的棱AB为x轴，棱AD为y轴，棱AA₁为z轴．设B点坐标为(1，0，0)，因为AB：AD：AA₁=1：2：4，则D(0，2，0)，A₁(0，0，4)，又CF=AB=2CE，所以E(1，[*]，1)．故异面直线EF和DA₁所成的角的余弦值为 [*] 所以AF⊥平面A₁ED．

解析

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如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱．BC、CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4． (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； (2)证明：AF⊥平面A1ED．

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