设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=_______

admin2019-07-13 47

问题设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(-∞，+∞)，y∈(-∞，+∞)，成立f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=_______

选项

答案axe^x

解析由f’(0)存在，设法去证对一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．
将y=0代入(x+y)=f(x)=f(x)e^y+f(y)e^x，得f(x)=f(x)+f(0)e^x，所以f(0)=0．

令△x→0，得 f’(x)=f(x)+e^xf’(0)=f(x)+ae^x，
所以f’(x)存在．解此一阶微分方程，得
f(x)=e^x(∫ae^x.e^xdx+C)=e^x(ax+c)．
因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)=axe^x，如上所填．

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考研数学一

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