2. 考研
  3. 函数f(x)在[0，＋∞)上可导，且f(0)＝1，满足等式 f′(x)＋f(x)一f(t)dt＝0． (1)求导数f′(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1．

函数f(x)在[0，＋∞)上可导，且f(0)＝1，满足等式 f′(x)＋f(x)一f(t)dt＝0． (1)求导数f′(x)； (2)证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1．

admin2016-01-25  86
问题 函数f(x)在[0，＋∞)上可导，且f(0)＝1，满足等式
f′(x)＋f(x)一f(t)dt＝0．
(1)求导数f′(x)；
(2)证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1．
选项
答案(1)整理后有等式 (x＋1)f′(x)＋(x＋1)f(x)一[*]f(t)dt＝0， 求导得到 (x＋1)f″(x)＋(x＋2)f′(x)＝0． 设 u(x)＝f′(x)， 则 [*] 两边积分得到 lnu(x)＝一x—ln(x＋1)＋lnC，u(x)＝[*] 即 [*] (2)由 f′(x)＝一[*]e－x ① 且 x≥0， 则有不等式 一e－x≤一[*]e－x≤0 两边在[0，x]上积分，利用式①有 e－x一1≤f(x)一f(0)≤0， 即有不等式 e－x≤f(x)≤1．
解析 先在所给等式两边求导得到f(x)的二阶微分方程．为求f′(x)，视f′(x)为因变量，化为一阶微分方程而求之．求出f′(x)的表示式后再放缩化为不等式，最后积分即可得到f(x)的不等式．
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考研数学三

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